Tangente point sur la courbe / Tangente à une droite
Tangente point extérieur / Diamètres conjugués



Définition:
C'est une conique ; l'ensemble des points du plan dont la somme des distances à 2 points fixes F et F' est constante et égale à une longueur 2a
 

Les points F et F' sont les foyers de l'ellipse; les segments MF et MF' sont les rayons vecteurs du point M , on écrit la relation suivante:
MF + MF' = 2 a

  
Périmètre de l'ellipse
Il est donné par la formule suivante :

P = 4 a ò0P/2 Ö (1 - k² sin² q) dq

avec k = (Ö ( a² - b²) )/2

 

la formule suivante est sensiblement équivalente et suffisante pour nos tracés de longueur développée

P = 2P Ö ½ ( a² + b² )

Le cercle principal est le cercle construit sur le grand axe de l'ellipse; le cercle secondaire est construit sur le petit axe de l'ellipse

Le point M est l'image du point M1 sur le cercle principal en considérant que l'ellipse est l'image du cercle principal projeté, faisant un angle a tel que BB' = 2 r cos a .


Tangentes :
  La tangente à l'ellipse par un point M ou N sur la courbe.

2 Solutions

Tangente au point N

  • Tracer les rayons vecteurs
  • Prolonger l'un d'eux
  • Déterminer la bissectrice de l'angle formé par ses 2 droites
  • Cette droite est la tangente à l'ellipse en ce point N

Tangente au point M

Dans le tracé par le cercle principal

  • Positionner le point M1 (image de M)
  • Tracer la tangente au cercle en M1, la droite coupe le prolongement du grand axe au point O1
  • O1 M représente la tangente

Nous avons choisi le point N symétrique au point M pour faire la remarque suivante: que le point O1 était commun aux 2 constructions, la droite F'T est perpendiculaire à la tangente donc NT = NF' ce qui donne TF = 2a

 La tangente à l'ellipse parallèle à une droite ( D ) donnée

  • Elever du foyer F' une perpendiculaire à ( D )
  • Du foyer F tracer un arc de cercle de rayon 2a coupant la perpendiculaire au point T
  • Tracer la médiatrice du segment TF', cette droite ( D1 ) représente la tangente parallèle à ( D ) au point M

le point N se détermine par symétrie
 


  La tangente à l'ellipse par un point ( P )extérieur à la courbe

  • Du point ( P ) comme centre tracer un arc de cercle de rayon PF'
  • Du foyer ( F ) comme centre tracer un arc de cercle de rayon 2 a ,l'intersection des 2 arcs donne le point ( T )

Tracer la droite TF puis la droite TF' et sa médiatrice , l'intersection de la médiatrice et la droite TF nous donne le point ( M ) ( contact avec la courbe)

  
Axes de l'ellipse avec 2 diamètres conjugués

 

Nous connaissons l'ellipse avec ses 2 diamètres conjugués ( MM1 et NN1).
Notre recherche va consister à définir les 2 axes ( 2 a et 2 b ) de l'ellipse

  • du point (O) comme centre faire une rotation ( -P/2) du point (N) Þ (Nr)
  • tracer la droite MNr et son prolongement de part et d'autre et définir son milieu (W )
  • du point (W ) comme centre, décrire le demi-cercle de rayon (WO) coupant la droite prolongée MNr Þ les points (J) et (K), lieux des 2 axes de l'ellipse
  • la valeur MJ = AO = a Þ demi-grand axe
  • la valeur NrJ = BO = b Þ demi-petit axe