Principe / Surfaces planes / Développement d'un cône de révolution /
Épure tronc de cône de révolution / Développement tronc du tronc de révolution / Épure tronc cône oblique / Développement tronc conique oblique / Points particuliers du développement / Section circulaire cône oblique

Principe  

Une surface conique est engendrée par une droite D passant par un point fixe S (sommet) et se déplaçant autour d'une courbe plane G . L'ensemble de ces droites portent le nom de génératrices, suivant la forme de la courbe plane et de la position du sommet, les surfaces coniques portent différents noms:

La rotation d'un triangle rectangle autour de l'axe SO ( côté de l'angle droit)engendre la surface d'un cône de révolution

Cône de révolution  

Surfaces planes du cône de révolution:

Appelées coniques, elles ont un intérêt pour définir les intersections avec d'autres solides ( voir intersections)

   est parallèle à une seul génératrice et ne passe par le sommet Þ l'intersection est une parabole (fig 3)  
   est parallèle à 2 génératrices et ne passe par le sommet Þ l'intersection est une hyperbole (fig 4)  
   passe par le sommet , coupe la base en 2 points distincts Þ l'intersection est un triangle (fig.5)  

Développement d'un cône de révolution  

Le schéma représente la projection F d'un cône de révolution défini par sa hauteur et son rayon

  • le développement représente un secteur circulaire dont le rayon est égal à la VG d'une génératrice Þ
    VG = Ö (H2 + R2)
  • la longueur de la courbe est égale à la circonférence du cercle de base du cône Þ
    L = 2 Õ R
    ce qui nous amène à déterminer l'angle Þ
    a = 360° x R / VG

Pour tracer ce secteur circulaire il est facile de rechercher la valeur de la corde ainsi nous déterminons avec précision le développement

C = 2 VG sin ( a / 2)

Attention dans le cas où le rapport R / VG est >0.5, il conviendra de recherche la corde du 1/2 développement



Épure d'un tronc de cône de révolution  

Ci-contre l'épure d'un cône de révolution coupé par 3 plans P1(de profil), P2 et P3 (de bout) qui définissent les 3 types d'intersection ( ellipse , parabole , hyperbole) précédemment exposés.
Dans ce cas la proj. F suffit pour déterminer le développement de cette surface, mais nous avons voulu définir la proj. H

  • déterminer un système régulier de génératrices ( ex: 12 divisions)
  • tracer 4 génératrices supplémentaires ( S3, S6, S12, S15) limitant les intersections des plans avec la base
    2 solutions: soit définir les points par lignes de rappel ; soit faire passer par les points des plans horizontaux ( h1, .., hn) déterminant des cercles (solution utilisée)



Nous avons opté pour les plans horizontaux ceux-ci définissant bien l'intersection avec les génératrices en PH.
Puisque toutes les génératrices ont même longueur en PH et même différence de cotes par conséquent elles ont toutes même VG Þ égale à la génératrice de contour apparent en PF

  • Pour déterminer les VG des droites( s2a, s'2a, s15a, s'15a, s7a, s'7a, s11a, s'11a, s8a, s'8a, s10a, s'10a,) et ( s1b, s'1b, s2b, s'2b, s4b, s'4b, ........s15b, s'15b, s16b, s'16b) il suffit de prendre la valeur sur la génératrice de contour apparent en PF donnée par le plan H passant par ces points


Développement du tronc de cône  

Dans le développement

  • commençons par déterminer l'angle au sommet a
  • puis la valeur de la corde pour tracer le secteur circulaire surface totale du cône (nous avons préféré prendre la corde du 1/2 développement puisque l'angle est proche de 180° et en plus la surface a un axe de symétrie)
  • traçons nos 12 génératrices équidistantes
  • reportons les génératrices supplémentaires ( S3, S6, S12, S15) ( la génératrice S9 étant axe de symétrie)
  • portons sur chacune des génératrices les points limitant le solide avec les plans P1, P2, P3
Les courbes se tracent en joignant les points


Cône oblique  
 
Épure d'un tronc de cône oblique
Nous devons rechercher les intersections du cône dit oblique de sommet S et des 2 plans ABCD (quelconque) et EFGH ( de bout )
   déterminer un nombre régulier de génératrices( 12 par exemple) toujours pour faciliter le développement
   dans ce cas nous avons décidé de prendre l'axe du cône comme référence pour le départ de nos divisions ( recherche minimale de VG ) ceci n'est pas une obligation.
   les génératrices de contour apparent en proj. H n'appartiennent qu'exceptionnellement au système régulier, il convient donc de les tracer correctement ( géométrie du cercle)

Nous traiterons l'intersection avec la plan ABCD sans changement de plan frontal (solution envisageable )

 

Intersection plan EFGH

  • le plan étant de bout, notre intersection est définie en proj.F
  • il suffit de projeter nos points en proj. H ( 2,1,12,11,10,13) décrivant une portion d'ellipse.

 

Nous avons volontairement, pas tenu compte des conventions des vues cachées pour ne pas surcharger les épures

 

Intersection plan ABCD

  • utilisons des plans verticaux passant par les 12 génératrices qui donnent des droites d'intersection avec le plan ABCD
  • exemple: le plan V passant par les génératrices 1 et 7 donne la droite MN (mn, m'n') qui coupe en proj. F les génératrices ( 1') et ( 7') donnant les points d'intersection.
  • Toutes les droites d'intersection sont concourantes au point K (k, k') leurs intersections respectives avec les génératrices en proj. F définissent une ellipse ainsi qu'en proj. H ( points obtenus par lignes de rappel)


Développement d'un tronc de cône oblique  

Il faut définir les VG des génératrices avec leur point d'intersection

  • nous avons tracer deux droites perpendiculaires avec sur un côté la différence de cotes entre le sommet et les points du cercle et sur l'autre côté la projection horizontale de chacune des droites
  • par mesure de rapidité nous reportons sur chaque VG la position des points d'intersection avec les 2 plans en conservant la différence de cote

 

 

Développement

  • traçons la génératrice S1 en la prenant comme axe de symétrie
  • recherchons la position du point 2 pratiquement comme pour tracer un triangle en portant S2 et la corde 12 , cette dernière valeur ne correspond théoriquement à rien puisque c'est la courbe 1-2 du développement qui est égale à courbe 1-2 du cercle correspondant à 1/12 de la circonférence. Nous faisons donc une erreur que nous rectifions en pratique quart par quart (contrôle à la génératrice 4 avec un réglet souple de la longueur correspondant au quart du périmètre du cercle de base Þ rectifier si nécessaire)
  • reportons ensuite les autres génératrices comme indiqué ci-dessus, ainsi que leur point définissant les intersections avec les plan ABCD et EFGH
    Il existe parfois des points remarquables sur les courbes (points d'inflexion) qu'il peut être intéressant de définir


Points particuliers  

Les points particuliers sont à définir sur l'épure nous allons rechercher l'existence de plans tangents à la surface conique perpendiculaires aux plans sécants limitant notre tronc de cône
Plan sécant ( base du cône Þ cercle)

  • les 2 plans tangents et perpendiculaires sont les 2 plans verticaux limitant la projection H de notre surface conique donnant 2 génératrices S-T2 et S-T3

Plan sécant EFGH

  • Il faut déterminer une droite passant par le sommet S (s'r', sr) perpendiculaire au plan de bout(voir droites plans ^ )
  • traçons le point (t ,t') tangent à la courbe, le point (t1 ,t'1) représente celui du cercle qui peut être défini en prolongeant la droite (s'r', sr) jusqu'à sa rencontre avec le plan de la base circulaire donnant un point (r1, r'1) qui permet le tracé de la tangente au cercle, donnant sur le développement au point T un point d'inflexion

Plan sécant ABCD

  • Il faut déterminer une droite passant par le sommet S (s'w', sw) perpendiculaire au plan quelconque (voir droites plans ^ )
  • le point (w,w') est situé à l'intérieur de l'ellipse ce qui ne donne pas de droite tangente à la courbe donc pas de point d'inflexion

voir animation

Tracé de la tangente au point T (point d'inflexion) et au point T1 correspondant sur le cercle

  • déterminons une droite passant par le sommet S (s'r', sr) perpendiculaire au plan de bout
  • prolongeons la droite jusqu'au plan H donnant le point ( r1,r'1)
  • traçons du point ( r1,r'1) la tangente au cercle de centre ( o) Þ le point ( t1,t'1) pied de la génératrice de contact avec le plan tangent
  • la génératrice ( s t1, s' t'1) coupe la courbe d'intersection au point ( t,t') point de contact de la tangente passant par le point ( r,r')

Il nous faut définir les angles (a et b ) ,formés par les tangentes et la génératrice, en VG, solution par rabattement horizontale (voir Rabattement)

Dans le développement
   positionnons la génératrice S T1
   au point T1, traçons l'angle (a ) déterminant la tangente à la transformée du cercle
   au point T, traçons l'angle ( b ) déterminant la tangente à la transformée de l'intersection, le point est nommé point d'inflexion


Section circulaire du cône oblique à base circulaire  

L' axe SO est dans un plan frontal

Nous sommes en présence d'un tronc de cône à base circulaire de centre O et limité par un plan de bout. La section circulaire du plan de bout de centre O2 est démontré par l'existence des 2 cercles appartennant à la même sphère de centre W .

Les sections C1 , C2 parallèles au plan de bout sont aussi des sections circulaires du cône.
Nous pouvons transformer ce cône oblique en cône droit à base elliptique en prolongeant une partie du cône pour ce faire il suffit de reporter la génératrice (sm ) = (sa ), le point O1 représente le centre de la section elliptique.

Dans la projection ci-contre nous remarquons que l'une des 2 sections circulaires n'appartient pas à la sphère, ceci n'est donc pas une surface conique, elle sera traitée comme un raccord entre deux sections circulaires ( voir Surfaces composées bases sécantes)