La distance qui sépare 2 points nous conduit à rechercher la VG de la droite MN Nous avons choisi 2 solutions : la rotation autour d'une droite de bout passant par point (n.n') le rabattement de la droite autour d'une horizontale confondue avec (mn)

 
  Distance d'un point à une droite

Un point A et une droite D forment un plan P , la distance du point A à la droite D est le segment de perpendiculaire menée dans le plan P, du point A à la droite D.

Si la droite est verticale ou de bout cela ne donne pas lieu à une recherche car la perpendiculaire menée du point sur cette droite est horizontale ou frontale ; la distance se mesure directement sur l'épure . Dans les autres cas de droites nous procédons de la façon suivante :

• mener du point A le plan perpendiculaire à la droite D
• chercher le point K , intersection de ce plan avec la droite D
• mesurer la longueur du segment AK

Un point A et une droite D forment un plan P , la distance du point A à la droite D est le segment de perpendiculaire menée dans le plan P, du point A à la droite D.

Construire une droite horizontale (h, h') passant par A (a,a') et un point B ( b, b') sur la droite D . Faire un rabattement du plan P formé par les points ABJ ( a,b,j , a',b',j')autour de la droite horizontale (h) en projection horizontale ce qui donne : le point (b1) et la droite ( d1) (par construction) les points (a) et (j) étant sur la charnière restent fixes tracer la perpendiculaire issue de (a) sur (d1) ce qui donne le point (k1) la distance (a k1) est la distance du point à la droite en VG

• mener du point A la perpendiculaire au plan P
• chercher le point K , intersection du plan avec la perpendiculaire
• mesurer la longueur du segment AK

Si le plan est vertical ou de bout la perpendiculaire est alors une droite horizontale ou frontale , la distance est en VG dans la projection horizontale ou dans la projection frontale

Dans les autres cas il suffit donc de ramener notre plan quelconque par rotation ou changement de plan en un plan vertical ou de bout

Soient un plan défini par 3 points BCD et un point A hors du plan Construire une frontale (f,f') du plan faire un changement de plan horizontal perpendiculaire à la frontale (f') transformant ainsi le plan quelconque BCD en un plan vertical du point (a1), abaisser une perpendiculaire à la nouvelle projection horizontale du plan qui détermine le point( k1) la valeur (a1 k1) est la distance entre le point et le plan . Par ligne de rappel reporter les points dans les projections précédentes

 
Angle de 2 droites  

On appelle angle de 2 droites de l'espace

• l'un quelconque des angles formés par les parallèles à ces droites menées par un point quelconque de l'espace
• Ces 2 parallèles forment un plan P qu'il suffit de rabattre autour d'une horizontale de ce plan pour obtenir l'angle recherché

Choisir un point O ( o, o') et faire passer des droites D1 et D1 respectivement parallèles aux droites D et D Tracer une horizontale (h, h')du plan ainsi formé et rabattre le point ( o) autour de cette horizontale ce qui donne le point (o1) permettant de définir l'angle recherché ( b o1 a) voir vidéo

Angle d'une droite et d'un plan   

On appelle l'angle d'une droite et d'un plan:

• l'angle aigu a de la droite avec sa projection sur le plan. Si l'on place un point A sur la droite, la normale au plan passant par de ce point et la droite (d ) forme un angle aigu b ( angle complémentaire de l'angle a )
• Notre recherche se limite donc à définir l'angle de 2 droites ( étudier au préalable)

Nous avons un plan ABC et une droite D sur laquelle nous plaçons un point J ( j, j') hors plan. par le point (j,j'), nous traçons la normale au plan après avoir définir dans celui-ci une frontale A1(a1,a'1')et une horizontale C2 (c2, c'2'). choisir une charnière horizontale MN (mn,m'n') et rabattre le point ( j ) en ( j1 ) ce qui nous détermine l'angle a et donc l'angle complémentaire b (angle recherché) voir vidéo

Angle de 2 plans  
On désigne par angle de 2 plans , l'un quelconque des rectilignes des dièdres formés par ces 2 plans sachant que les opposés sont égaux et supplémentaires 2 à 2

Deux méthodes :

• une qui consiste à couper les 2 plans par un plan perpendiculaire à leur intersection
• une autre qui consiste à abaisser une perpendiculaire à chacun des 2 plans par un point hors plans et de mesurer l'angle supplémentaire formé par les 2 normales

 
Suivant les conditions de l'épure , il convient de prendre l'une ou l'autre solution en traçage graphique nous procédons parfois autrement

 Dans cet exemple ci-dessus nous reprenons le même principe de la recherche de l'angle de 2 droites.   

Nous choisissons : un point A (a, a') quelconque une horizontale (h,h') dans chaque plan B3,34 une frontale (f,f') dans chaque plan B1, 12 Nous traçons : du point ( a') une perpendiculaire sur chacune des 2 frontales (b'1'), (1'2') du point (a) une perpendiculaire sur chacune des 2 horizontales (b3),( 34) une droite horizontale MN pour servir de charnière pour rabattre le point ( a) coupant les normales aux 2 plans l'angle ( a ) est l'angle supplémentaire de l'angle ( b ) recherché voir vidéo